Что такое воронка депрессии в подземной гидромеханике

При откачке воды из скважин вследствие трения воды о частицы грунта происходит воронкообразное понижение уровня воды.

Образуется депрессионная воронка, в плане имеющая форму, близкую к кругу. В вертикальном разрезе воронка ограничивается депрессионными кривыми, крутизна которых увеличивается по мере приближения к оси скважины. Образование депрессионной воронки вызывает отклонение токов вод от естественного направления и изменение поверхности грунтового потока.

Радиус депрессионной воронки называетсярадиусом влияния (R). Размер депресионной воронки, а значит и радиуса влияния, зависит от водопроницаемости пород. Так гравий и другие водопроницаемые породы характеризуются широкими воронками с большим радиусов влияния, а для суглинков характерны наоборот узкие воронки с маленьким радиусом.

Также на величину и форму воронки оказывают влияние условия питания водоносного горизонта, его связь со смежными горизонтами и поверхностными водоемами и т.д.

В практических расчетах для определения радиуса влияния или радиуса депрессии обычно используют приближенные формулы, иногда дающие только порядок его велечины.

Формула Кусакина (для безнапорного пласта при установившейся фильтрации) имеет вид

где S — понижение уровня воды при откачке по центру воронки, м

Кф — коэффициент фильтрации, м/сутки.

Формула Зихардта для напорных пластов

где S — понижение уровня воды при откачке по центру воронки, м

Кф — коэффициент фильтрации, м/сутки.

18. Скважина водозаборная — разведочно-эксплуатационная скважина предназначенная для добычи воды из водоносного горизонта, глубина скважины зависит от глубины залегания водоносных горизонтов, в которых и находится артезианская вода. Чем глубже артезианская скважина, тем больше содержание солей в воде, то есть выше её минерализация (см. гидрогеологию) . Водозаборная скважина является подземным источником хозяйственно-питьевого водоснабжения на водозаборных сооружениях (более известны как водозаборный узел сокр. ВЗУ).

19. Поглотительные (поглощающие, фильтрующие) колодцы сооружаются на осушаемой территории тогда, когда нет возможности вывести влагу в место понижения. Диаметр такого колодца, как правило, составляет полтора метра, глубина — не менее двух метров. Колодец засыпается гравием, щебнем, котельным шлаком, битым кирпичом или другим материалом, сверху застилается геотекстилем и укрывается грунтом. Наружные стены и основание колодца защищаются той же обсыпкой. Вода проникает в поглощающий колодец, фильтруется в нем и уходит в нижележащие слои почвы.

Поглотительные колодцы успешно используются на участках с небольшим объемом сточных вод (не более 1 кубометра в сутки) и преобладанием песчаного и супесчаного грунта.

20.В зависимости от времени производства строительных работ водопонижение делится на предварительное и параллельное.
Предварительное водопонижение выполняется до начала строительных работ, параллельное — одновременно со строительством. Это деление, естественно, условное. Предварительное водопонижение в толще водоносных грунтов, вскрываемых котлованом или траншеей, следует применять лишь в тех случаях, когда в этих грунтах содержатся водоносные горизонты большей мощности. В этом случае целью предварительного осушения является снижение уровня подземных вод на величину, обеспечивающую безопасные условия строительства и гарантирующую невозможность прорыва и оплывания откосов.
Предварительное снижение напоров напорных водоносных горизонтов, залегающих ниже защищаемой выработки и непосредственно не принимающих участие в ее обводнении, необходимо либо при наличии гидравлической связи их с залегающими выше дренируемыми горизонтами, либо при реальной опасности прорыва высоконапорных подземных вод в дно выработки. В этом случае целью предварительного водопонижения является обеспечение устойчивости дна выработки.
Предварительное и параллельное водопонижение осуществляется с помощью различного рода водопонизительных устройств – вертикальных и горизонтальных.
Для защиты открытых выработок (котлованов, траншей и т.п.) используют как вертикальные, так и горизонтальные устройства — водопонизительных скважины, иглофильтровые установки, горизонтальные дренажные скважины.
Для защиты подземных выработок (например, при строительстве линий метро, туннелей, шахт) используются в основном вертикальные дренажные устройства – водопонизительные, поглощающие, разгрузочные скважины, забивные и сквозные фильтры, дренажные колодцы и иглофильтровые установки.
В зависимости от природных условий строительной площадки (геологического строения и гидрогеологических условий), сложности сооружения, метода возведения, могут применяться три способа водопонижения – поверхностный, подземный и комбинированный. При поверхностном способе водопонизительные устройства закладываются с поверхности земли, при подземном способе – из подземных выработок, а при комбинированном – с поверхности земли и из подземных выработок.
Поверхностный способ водопонижения осуществляется с помощью водопонизительных скважин. Эти скважины целесообразны в условиях безнапорного водоносного горизонта мощностью не менее 10-5 м и при коэффициенте фильтрации не ниже 1-3 м/сутки. В напорных водоносных горизонтах коэффициент может быть меньше, но не ниже 0,5 м/сутки.
Этот способ позволяет понижать уровни подземных вод на большие глубины в довольно сложной обстановке. Преимущество такой системы – мобильность. Недостаток – постоянное использование электроэнергии для питания насосного оборудования, необходимость отвода выкачанной воды.

Кроме водопонизительных скважин к средствам глубокого дренажа следует отнести и эжекторные иглофильтровые установки. Глубина возможного снижения уровня подземных вод эжекторными установками достигает 20 м.
Размеры эжекторных колонн и расстояние между игофильтрами, количество их в установке и тип насосного агрегата выбираются в зависимости от гидрогеологических параметров осушаемого массива и условий производства строительных работ. Однако, практика показывает, что оптимальный режим работы иглофильтровых установок наблюдается в песчаных грунтах с коэффициентом фильтрации не менее 1 и не более 30 м/сутки. Фильтры должны быть заглублены не менее чем на 0,6 м ниже минимального динамического уровня по контуру котлована или не менее 1,25 м при расположении их с одной стороны защищаемой выработки.
При несоблюдении этих условий возможно попадание воздуха в фильтровое звено и нарушение нормальной работы установки.

Основными требованиями работы водопонизительных устройств является:
1. Водопонизительные устройства должны обеспечивать требуемое понижение уровня подземных вод во всех точках дренируемого контура, для чего необходим учет геолого0гидрогеологических условий участка.
2. Сроки сооружения водопонизительных устройств должны быть строго увязаны с графиком строительства.
3. Проектируемая суммарная производительность водопонизительных устройств должна превышать водопритоки в период формирования депресии и соответствовать установившемуся притоку подземных вод после снижения уровня на требуемую величину.
4. Расстояние между защищаемым контуром и водопонизительными устройствами должно быть минимальным, но достаточным для предотвращения фильтрационных деформаций грунтов и оплывания откосов котлованов и траншей.

Схемы расположения горизонтальных и вертикальных дренажных устройств, принятые в практике строительного водопонижения, могут быть объединены в следующие группы: произвольное, линейное, контурное, площадное.
Произвольное расположение дренажных устройств применяется при неравномерных фильтрационных свойствах водоносного горизонта. В этом случае необходимо тщательно увязывать размещение средств водопонижения с гидрогеологическими и инженерно-геологическими условиями участка.
Линейные схемы дренажных устройств используются при защите от обводнения вытянутых в плане выемок, например траншей, тоннелей. Схема линейного водопонижения представлена ниже.

Подземная нефте-газовая гидродинамика (ПГД)— наука о движении нефти, воды, газа и их смесей через горные породы, имеющее пустоты, одни из которых называют порами, другие трещинами. Жидкость, газ, смесь жидкости и газа, т.е. всякая текучая среда, часто в зарубежной литературе именуется общим термином флюид, если не ставится задача выделить характерные особенности движения данной среды. Горные породы, которые могут служить хранилищами нефти, газа и отдавать их при разработке носят название коллекторов.

Теоретической основой ПГД является теория фильтрации — наука, описывающая данное движение флюида с позиций механики сплошной среды, т.е. гипотезы сплошности (неразрывности) течения.

1.1. ПОНЯТИЕ О МОДЕЛИРОВАНИИ

Месторождения нефти и газа чаще всего приурочены к пластам терригенных и карбонатных осадочных пород (песчаников, известняков, алевритов, глин), представляющих собой скопления зерен минералов, связанных цементирующим материалом. Поровое пространство терригенных пород сложная нерегулярная система сообщающихся или изолированных межзеренных пустот с размерами пор порядка единиц или десятков микрометров. В карбонатных породах (известняках, доломитах) система пор более неоднородна, кроме того, более развита система вторичных пустот, возникающих после образования самой породы. Сюда относятся трещины, вызванные тектоническими нарушениями, а также каверны и каналы, возникшие благодаря растворению скелета породы водой или его химической реакции с ней. Протяженность трещин и размеры каверн могут намного превосходить размеры первичных пор.

Коллектора образуют чаще всего пласт конечной толщины, значительной ширины и протяженности, изолированный от выше- и нижележащих проницаемых пластов кровлей и подошвой: слоями непроницаемых пород, глин или солей. Пласты коллекторов отличаются развитой неоднородностью по площади и многослойностью, а также часто пересекаются крупными тектоническими нарушениями — разрывами сплошности пород. Наконец, добыча нефти и газа, исследование пластов ведутся через отдельные скважины диаметром 10-20см, отстоящих друг от друга на сотни метров.

Из всего вышесказанного вытекает следующая особенность теории фильтрации нефти и газа в природных пластах, а именно, необходимость одновременного рассмотрения процессов в областях, характерные размеры которых различаются на порядки: размер пор (единицы и десятки микрометров), диаметр скважин (десятки сантиметров), толщины пластов (единицы и десятки метров), расстояния между скважинами (сотни метров), протяженность месторождений (десятки и сотни километров). Кроме того, неоднородность пластов (по толщине и площади) имеет характерные размеры практически любого масштаба.

Указанные неоднородности по строению залежей, широкомасштабность областей исследования, а также значительная широта фациального состава коллекторов и сложный нерегулярный характер структуры порового пространства обуславливают ограниченность и приближенность сведений о пласте и флюидах, полученных в результате геологических и геофизических исследований. Таким образом, исследование пластов невозможно без абстрактного (математического) и физического (лабораторного) моделирования.

При абстрактном моделировании реальные процессы описываются некоторой математической моделью на основе методов осреднения характерных параметров по времени, пространству и статистической выборке. Последнее позволяет перейти от дискретных распределений к непрерывным и, следовательно, использовать хорошо разработанные аппараты механики сплошных сред и дифференциального исчисления.

Математическое моделирование предполагает использование целого ряда зависимостей, позволяющих в той или иной мере отожествить математическую модель с реальными физическими средами и процессами. В силу разнообразия реальных сред, процессов и огромного числа взаимосвязанных факторов для получения данных зависимостей в подземной гидромеханике широко используется физическое моделирование, основанное на теории подобия.

Адекватность абстрактных и физических моделей реальным процессам требует выполнения следующих требований при их построении:

— полнота, т.е. содержание достаточного числа признаков реального объекта;

— непротиворечивость, т.е. включенные признаки не должны противоречить друг другу;

— реализуемость, т.е. построенная математическая модель допускает аналитическое или численное решение, а физическая — реализацию в искусственных условиях;

— компактность и экономичность, т.е. процессы сбора информации, подготовка и реализация модели должны быть максимально просты, обозримы и экономически целесообразны.

При моделировании пластов и фильтрационных процессов необходимо помнить о принципиальной невозможности достижения точного количественного описания, и следовательно, основная задача исследования заключается в установлении качественных закономерностей, устойчивых тенденций, а также количественных соотношений, устойчивых к вариации исходных данных. Целью моделирования является не столько точное определение всех характеристик процесса, сколько расширение той совокупности сведений, которые учитываются при выборе системы разработки или метода воздействия на пласт. При этом уточнение и коррекция данных сведений возможны только на основе анализа последующего поведения пласта. Решающую роль играет постановка задачи и такой анализ результатов ее реализации, который позволяет сделать некоторые общие, скорее, качественные заключения. Усложнение модели, т.е. увеличение признаков сверх определяющих основные закономерности, может привести не к увеличению точности, а к качественно неверному результату. Такое положение дел особенно усугубляется в настоящее время из-за использования все более мощной вычислительной техники, позволяющей преодолеть многие технические трудности. Однако познавательная ценность извлекаемых результатов еще более определяется адекватностью модели, четкостью постановки задачи расчета, глубиной предварительного анализа имеющихся данных по их точности и достоверности.

1.2.1. Модель фильтрационного течения

Сложный и нерегулярный характер структуры порового пространства не позволяет изучать движение флюидов в нем прямым решением уравнений движения вязкой жидкости для каждого порового канала или трещины. Однако, известно, что с увеличением числа отдельных микродвижений, составляющих макроскопическое фильтрационное движение, начинают проявляться суммарные статистические закономерности, характерные для движения в целом и несправедливые для одного или нескольких поровых каналов. Это характерно для систем с большим числом однородных элементов, слабо связанных между собой. Такие системы могут быть описаны как некоторые сплошные среды, свойства которых не выражаются непосредственно через свойства составляющих элементов, а являются осредненными характеристиками достаточно больших объемов среды. Так, в гидродинамике не изучается движение отдельных молекул, а вводятся осредненные термо-динамические параметры жидкости как сплошной среды. При этом предполагается, что любой объем осреднения намного превосходит элементарный линейный размер (межмолекулярное расстояние) и содержит достаточно большое число элементарных элементов (молекул), а сам намного меньше характерного макрообъема, н.п. диаметра трубопровода. Аналогично этому теория фильтрации строится на представлении породы и заполняющей ее флюида сплошной средой. Это означает, что элементы системы флюид — порода считаются физически бесконечно малыми, но достаточно великими по сравнению с размерами пустот и зерен породы. При этом предполагается, что в одном и том же элементарном объеме содержатся одновременно порода и флюид.

Известно, что в механике сплошных сред течение жидкостей и газов описывается тремя законами сохранения: массы, количества движения или импульса, энергии. При исследовании фильтрационного течения в подземной гидромеханике используется только первые два уравнения, а изменением температуры флюида пренебрегается по причине малых скоростей течения и значительного теплообмена со скелетом пород, вследствие значительной поверхности контакта, которые практически не меняют своей температуры из-за большой своей теплоёмкости. Т.о. процесс течения предполагается изотермическим. Необходимо отметить, что в отдельных случаях (тщательное изучение призабойной зоны, использование термических методов интенсификации добычи флюидов) используют и общую постановку — с учётом изменения температуры не только флюида, но и породы.

Для процессов, происходящих в нефте-газовых, пластах при разработке, характерно наличие периодов изменения параметров течения во времени (пуск и остановка скважин, проведение работ по интенсификации притока). Такие процессы называют неустановившимися (нестационарными), а сами модели течения нестационарными. Те же модели, которые описывают процессы не зависящими от времени, называют стационарными (установившимися). При этом в данных моделях по причине малости изменения скорости и значительного преобладания сил сопротивления над инерционными, уравнение количества движения используется независящим от времени и пренебрегается изменением импульса по пространству.

Моделирование фильтрационного течения по отношению к пространственному изменению параметров может проводиться в: одномерной постановке, т.е. когда параметры являются функцией только одной переменной — это течение по прямой или кривой; двухмерной постановке — течение по плоскости и трехмерной — течение в пространстве.

Флюиды различны по степени сжимаемости. Так природный газ способен значительно изменять свой объём при изменении давления, вода и нефть в довольно значительном диапазоне давлений ( приблизительно до 20МПа) практически несжимаемы, а при высоких давлениях обладают упругими свойствами. В связи с указанными факторами различают модели сжимаемой, несжимаемой и упругой среды. Построение каждой из указанной модели требует привлечения эмпирических уравнений состояния, т.е. соотношений связывающих изменение объёма с изменением давления.

В области контакта флюидов при вытеснении одного другим или при выделении одного флюида из другого в каждом микрообъёме содержится два или больше флюидов, занимающих отдельные четко различимые объёмы (пузырьки газа в жидкости, капли или плёнки в газе) и взаимодействующих на поверхностях раздела. Такие системы называют многофазными (двух, трёх и т.д.) в отличие от многокомпонентных смесей (природный газ, нефть), в которых взаимодействие происходит на молекулярном уровне и поверхности раздела выделить нельзя. В гидродинамике такие среды называют однофазными или гомогенными.

В процессе движения флюиды испытывают различные деформации (сжатие, кручение, растяжение и т.д.) при изменении нагрузки( трение соседних объёмов, внешние силы), которая, отнесённая к единице площади, получила название напряжения. Само соотношение, связывающее деформацию или скорость изменения деформации с напряжением, называется реологическим соотношением или законом. Наиболее часто, применительно к жидкостям, для описания действия касательных напряжений _xy на сдвиговую деформацию применяют соотношение Ньютона , где u_x — скорость в направлении х; у — направление перпендикулярное х;  — коэффициент динамической вязкости. Довольно часто движение флюидов не подчиняется данному закону, н.п. при трогании пластовой нефти требуется некоторое, отличное от нулевого, напряжение, чтобы разорвать образованные пластовой водой коллоидные структуры. Такие среды называются неньютоновскими, а модель — моделью неньютоновского течения.

Моделирование коллекторов и, соответственно, классификация их параметров проводится по трём направлениям: геометрическое, механическое и связанное с наличием жидкости.

1.2.2.1. Геометрические модели

С геометрической точки зрения все коллектора можно подразделить на две большие группы: гранулярные (поровые) и трещиноватые. Ёмкость и фильтрация в пористом коллекторе определяется структурой порового пространства между зёрнами породы. Для второй группы характерно наличие развитой системы трещин, густота которых зависит от состава пород, степени уплотнения, мощности, метаморфизма, структурных условий, состава и свойств вмещающей среды. Чаще всего имеют место коллекторы смешанного типа, для которых ёмкостью служат трещины, каверны, поровые пространства; ведущая роль в фильтрации флюидов принадлежит развитой системе микротрещин, сообщающих эти пустоты между собой. В зависимости от того какие категории пустот являются путями фильтрации или главным вместилищем флюида различают коллекторы: трещиновато-пористые, трещиновато-каверновые и т.д. При этом первая часть в названии определяет вид пустот по которым происходит фильтрация. С целью количественного описания реальные сложные породы моделируют идеализированными моделями.

1.2.2.1.1. Идеализированные модели пористых сред.

Фиктивный грунт — среда, состоящая из шариков одного размера, уложенных во всем объёме пористой среды одинаковым образом по элементам из восьми шаров в углах ромбоэдра (рис.1.1). Острый угол раствора ромбоэдра  меняется от 60 о до 90 о . Наиболее плотная укладка частиц при =60 о и наименее плотная при =90 о (куб)

С целью более точного описания реальных пористых сред в настоящее время предложены более сложные модели фиктивного грунта: с различными диаметрами шаров, элементами не шарообразной формы и т.д.

Идеальный грунт – среда, состоящая из трубочек одного размера, уложенных одинаковым образом по элементам из четырех трубочек в углах ромба. Плотность укладки меняется от угла раствора ромба.

1.2.2.1.2. Идеализированные модели трещиновато — пористых сред.

Трещиновато-пористые коллектора рассматриваются как совокупность двух разномасштабных пористых сред (рис.1.2): системы трещин (среда 1), где пористые блоки играют роль “зёрен”, а трещины — роль извилистых “пор”, и системы пористых блоков (среда 2). В простейшем случае трещиноватый пласт моделируется одной сеткой горизонтальных трещин некоторой протяженности (рис.1.3), причём все трещины одинаково раскрыты и равно отстоят друг от друга (одномерный случай). В большинстве случаев трещиноватый пласт характеризуется наличием двух взаимно-перпендикулярных систем вертикальных трещин (плоский случай). Такая порода может быть представлена в виде модели коллектора, расчленённого двумя взаимно-перпендикулярными системами трещин с равными величинами раскрытия _т и линейного размера блока породы l_т. В пространственном случае используют систему трёх взаимно-перпендикулярных систем трещин (рис.1.4).

Всякое изменение сил, действующих на горные породы, вызывает их деформацию, а также изменение внутренних усилий — напряжений. Таким образом динамическое состояние горных пород, как и флюидов, описывается реологическими соотношениями. Обычно реологические зависимости получают в результате анализа экспериментальных данных натурных исследований или физического моделирования. Если объём пустот не изменяется или изменяется так, что его изменением можно пренебречь, то такую среду можно назвать недеформируемой. Если происходит линейное изменение объёма от напряжения, то такая среда — упругая, иначе ещё её называют кулоновской. К таким средам относятся песчаники, известняки, базальты. В упругих телах при снятии нагрузки объём восстанавливается полностью и линия нагрузки совпадает с линией разгрузки. Многие породы деформируются с остаточным изменением объёма, т.е. линия нагружения не совпадает с линией разгружения (петля гистерезиса). Такие породы называются пластичными (глины), текучими (несцементируемые пески) или разрушаемыми.

Горные породы необходимо разделять по ориентированности изменения их характеристик в пространстве. С этой позиции выделяют изотропные и анизотропные тела. Изотропия — это независимость изменения физических параметров от направления, анизотропия — это различные изменения по отдельным направлениям. Понятие ориентированности, применительно к коллекторам, связано скорее с геометрией расположения частиц, трещин. Так частицы могут располагаться хаотично и упорядочно в пространстве. Упорядочные структуры — анизотропны по поверхностным параметрам.

1.2.3. Характеристики коллекторов.

С точки зрения теории фильтрации значение твердого скелета горной породы прежде всего геометрическое, он ограничивает ту область пространства, в которой движется жидкость. Лишь только в отдельных случаях приходится рассматривать силовое взаимодействие между скелетом и прилегающем к нему жидкостью. Поэтому свойства горных пород в теории фильтрации описываются некоторым набором геометрических характеристик, осредненных по достаточно малому, по сравнению с исследуемым объемом, но содержащему большое число элементов (частиц, пор, трещин).

1.2.3.1. Параметры пористой среды

Важнейшая характеристика — пористость » m_о «, равная отношению объема пор V_п к общему объему элемента V

В связи с тем, что переток жидкости осуществляется через поверхность, то необходимо введение параметра, связанного с площадью. Такой геометрический параметр называется просветностью » m_s » и определяется как отношение площади просветов F_п ко всей площади сечения образца F

Пользоваться такими поверхностными параметрами практически не представляется возможным, т.к. в реальных породах они меняются от сечения к сечению и определить их можно только с помощью микроскопического анализа. Следовательно, желательно данные параметры заменить на объемные, которые можно определить достаточно надежно. Выше отмечалось, что породы можно разделить на изотропные и анизотропные. Для анизотропных коллекторов с упорядочной структурой данные параметры нельзя заменять на объемные. Для хаотичных, изотропных сред указанная замена возможна и просветность полагают равной пористости.

В реальных условиях твердые зерна породы обволакиваются тонкой плёнкой, остающейся неподвижной даже при значительных градиентах давления. В этом случае подвижный флюид занимает объём , меньший V_п .Кроме того , в реальной пористой среде есть тупиковые поры, в которых движения жидкости не происходит. Таким образом, наряду с полной пористостью часто пользуются понятием динамической пористости. Полная — описывается зависимостью (1.1), а динамическая

где V_по — объем, занятый подвижной жидкостью.

В дальнейшем под пористостью мы будем понимать динамическую пористость, кроме специально оговорённых случаев.

Пористость твердых материалов (песок, бокситы и т.д.) меняется незначительно при изменении даже больших давлений, но пористость, например, глины очень восприимчива к сжатию. Так пористость глинистого сланца при обычном давлении равна 0.4 — 0.5, а на глубине 1800м — 0.05. Для газовых и нефтяных коллекторов в большинстве случаев m=15-22%, но может меняться в широких пределах: от нескольких долей процента до 52%.

Для фиктивного грунта, исходя из геометрических построений, Слихтер вывел зависимость для полной пористости

. 1.4

Просветность m_s фиктивного грунта вычисляется по формуле

, 1.5

Т.о. из формул (1.5) и (1.6) следует, что пористость и просветность фиктивного грунта не зависят от диаметра шарообразных частиц, а зависят только от степени укладки. Для реальных сред коэффициент пористости зависит от плотности укладки частиц и их размера — чем меньше размер зёрен, тем больше пористость. Последнее связано с ростом образования сводовых структур при уменьшении размера частиц.

В идеализированном представлении коэффициент пористости одинаков для геометрически подобных сред; он не характеризует размеры пор и структуру порового пространства. Поэтому для того, чтобы формулы, описывающие фиктивный грунт, можно было применить для описания реальной среды вводится линейный размер порового пространства, а именно, некоторый средний размер порового канала  или отдельного зерна пористого скелета d.

Простейшая геометрическая характеристика пористой среды — эффективный диаметр частиц грунта. Определяют его различными способами — микроскопическим, ситовым, осаждением в жидкости (седиментационным) и т.д. Эффективным диаметром частиц d_э, слагающих реальную пористую среду, называется такой диаметр шаров, образующих эквивалентный фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление , оказываемое фильтрующейся жидкости в реальном и эквивалентном грунте, одинаково. Эффективный диаметр определяют по гранулометрическому составу (рис.1.5), н.п. по формуле веса средней частицы

, 1.6

где d_i — средний диаметр i -ой фракции; n_i — массовая или счетная доля i — ой фракции.

Для того чтобы привести в соответствие диаметр, определённый ситовым или микроскопическим методами, с сопротивлением грунта потоку данный диаметр умножают на коэффициент гидравлической формы. Если же диаметры определяются гидродинамическими методами, то они не требуют указанного уточнения.

Эффективный диаметр является важной, но не исчерпывающей характеристикой пористой среды, потому что он не даёт представления об укладке частиц, их форме и т.д. В тоже время два образца грунта, имеющих одинаковые эффективные диаметры, но различную форму частиц и структуру укладки, имеют различные фильтрационные характеристики.

Таким образом, для определения геометрической структуры пористой среды, кроме пористости и эффективного диаметра, нужны дополнительные объективные характеристики. Одной из таких характеристик является гидравлический радиус пор R. Для идеального грунта имеется связь радиуса пор с диаметром частиц фиктивного грунта

Динамика фильтрационного течения в основном определяется трением флюида о скелет коллекторов, которое зависит от площади поверхности частиц грунта. В связи с этим одним из важнейших параметров является удельная поверхность S_уд , т.е. суммарная площадь поверхности частиц, содержащихся в единице объёма. Для фиктивного грунта

1.8

Удельная поверхность нефтесодержащих пород с достаточной точностью определяется формулой

1.9

где k — проницаемость в дарси [мкм 2 ].

Среднее значение S_уд для нефтесодержащих пород изменяется в пределах 40тыс. — 230тыс.м 2 /м 3 . Породы с удельной поверхностью большей 230тыс. м 2 /м 3 непроницаемы или слабопроницаемы (глины, глинистые пески и т.д.).

В практике нефтегазодобычи помимо чисто геометрической характеристики доли пустот (пористости) вводят параметры, связанные с наличием нефти, газа или воды, на пример:

а) насыщенность — отношение объёма V_f данного флюида, содержащегося в порах, к объёму пор V_п

По виду флюида различают нефтенасыщенность, газонасыщенность, водонасыщенность.

б) связанность — отношение объёма, связанного с породой флюида V_fс, к объёму пор

Важнейшей характеристикой фильтрационных свойств породы является проницаемость. Проницаемость — параметр породы, характеризующий её способность пропускать к забоям скважины флюиды. Различают проницаемости: абсолютную, эффективную или фазовую и относительную. Абсолютная — характеризует физические свойства породы и определяется при наличии лишь какой-либо одной фазы, химически инертной по отношению к породе. Абсолютная проницаемость — свойство породы и не зависит от свойств фильтрующегося флюида и перепада давления, если нет взаимодействия флюидов с породой. Фазовой называется проницаемость пород для данного флюида при наличии в порах многофазных систем. Значение её зависит не только от физических свойств пород, но также от степени насыщенности порового пространства флюидами и их физических свойств. Относительной проницаемостью называется отношение фазовой к абсолютной. Проницаемость измеряется: в системе СИ — м 2 ; технической системе — дарси (д); 1д=1,02мкм 2 =1,02 . 10 -12 м 2 .

Физический смысл проницаемости k заключается в том, что проницаемость характеризует площадь сечения каналов пористой среды, по которым происходит фильтрация.

Величина проницаемости зависит от размера пор для модели идеального грунта с трубками радиуса R

Для реальных сред радиус пор связан с проницаемостью формулой Котяхова

, 1.13

где k -д; R — м;  — структурный коэффициент (=0.5035/m 1,1 — для зернистых сред).

Т.к. радиус пор связан с удельной поверхностью, то с ней связана и проницаемость

где при выводе учтена формула (1.5) и связь диаметра частиц с радиусом пор (1.7).

Проницаемость горных пород меняется в широких пределах: крупнозернистый песчаник — 1-0.1д; плотные песчаники — 0.01-0.001д.

1.2.3.2. Параметры трещинной среды.

Аналогом пористости для трещинных сред является трещиноватость m_т или, иначе, коэффициент трещиноватости. Иногда данный параметр называют трещинной пористостью. Трещиноватостью называют отношение объёма трещин V_т ко всему объёму V трещинной среды.

1.15

Для трещинно-пористой среды вводят суммарную (общую) пористость, прибавляя к трещиноватости пористость блоков.

Второй важный параметр — густота. Густота трещин Г_т— это отношение полной длины  l_i всех трещин, находящихся в данном сечении трещинной породы к удвоенной площади сечения f

1.16

Из (1.16) следует, что для идеализированной трещинной среды

где _т — раскрытость; _т — безразмерный коэффициент, равный 1,2, 3 для одномерного, плоского и пространственного случаев, соответственно.

Для реальных пород значение коэффициента  зависит от геометрии систем трещин в породе.

Для квадратной сетки трещин (плоский случай) Г_т=1 / l_т, где l_т -размер блока породы. Средняя длина трещин l * равняется среднему размеру блока породы и равна

В качестве раскрытости (ширины трещины) берут среднюю величину по количеству трещин в сечении f. Среднюю гидравлическую ширину определяют исходя из гидравлического параметра — проводимости системы трещин. Ширина трещин существенно зависит от одновременного влияния следующих двух факторов, обусловленных изменением давления жидкости, действующего на поверхность трещин:

увеличение объёма зёрен (пористых блоков) с падением давления жидкости;

увеличение сжимающих усилий на скелет продуктивного пласта.

Указанные факторы возникают из-за того, что в трещиноватых пластах горное давление, определяющее общее напряжённое состояние среды, уравновешивается напряжениями в скелете породы и пластового давления (давлением жидкости в трещинах). При постоянстве горного давления снижение пластового давления при отборе жидкости из пласта приводит к увеличению нагрузки на скелет среды. Одновременно с уменьшением пластового давления уменьшаются усилия, сжимающие пористые блоки трещиноватой породы.

Поэтому трещинный пласт — деформируемая среда. В первом приближении можно считать

, 1.19

Для трещинных сред l/ _т >100 и поэтому сжимаемость трещин высока.

1.3. СКОРОСТЬ ФИЛЬТРАЦИИ, ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ

При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида

где w — действительная средняя скорость жидкости; F_п — площадь пор.

Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для неупорядочных (изотропных) сред справедливо допущение о равенстве просветности пористости. Следовательно

называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Т.к. m 2 . В смешанной системе, когда [p]=кГ/см 2 , []=0.01г/см . с=1спз, [s] =см, [u]=см/с, k измеряется в дарси (1д=1мкм 2 =10 -12 м 2 =10 -8 см 2 ). Тысячная доля дарси называется миллидарси.

Из сравнения (1.25) и (1.28) имеем

. 1.29

Проницаемость песчаных коллекторов обычно находится в пределах k=100-1000мд, а для глин характерны значения проницаемости в тысячные доли миллидарси.

Проницаемость определяется геометрической структурой пористой среды, т.е. размерами и формой частиц и системой их упаковки.

Имеется множество попыток теоретически установить зависимость проницаемости от этих характеристик, исходя из закона Пуазейля для ламинарного движения в трубах и Стокса для обтекания частиц при той или иной схематизованной модели пористой среды. Поскольку реальные породы не укладываются в рамки этих геометрических моделей, то теоретические расчеты проницаемости ненадёжны. Поэтому обычно проницаемость определяют опытным путём.

1.3.1.3. Границы применимости закона Дарси

Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

пористая среда мелкозерниста и поровые каналы достаточно узки;

скорость фильтрации и градиент давления малы;

с) изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=wa/ с его критическим значением Re_кр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w -характерная скорость течения: а — характерный геометрический размер пористой среды;  — плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Приведём некоторые из данных зависимостей наиболее употребляемые в подземной гидромеханике:

1.30

1.31

1.32

Скорость фильтрации u_кр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>u_кр соизмеримы с силами трения.

При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси

, 1.33

представляющим отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения.

Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления увеличение скорости фильтрации происходит более быстро, чем по закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, н.п. устойчивые коллойдные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления _н , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой их них является модель с предельным градиентом

1.34

От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи сэтим в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение более общих, нелинейных законов фильтрации. Данные законы разделяются на одночленные и двухчленные.

Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида

1.35

Данные зависимости не удобны, т.к. параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим наибольшее употребление нашли двухчленые зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному, называемому формулой Краснопольского

1.36

Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае

1.37

где  — структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением

1.38

1.3.2.1. Линейный закон фильтрации

В трещиноватых пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью через трещиноватость

Средняя скорость выражается через градиент давления по формуле Буссинеска при представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами

1.40

Если использовать зависимости (1.39), (1.17), то получим линейный закон фильтрации в трещиноватых средах

1.41

По аналогии с законом Дарси проницаемость трещиноватых сред равна

1.42

Для трещиновато-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма межзерновой и трещинной проницаемостей.

В разделе 1.2.3.2. отмечалась необходимость рассмотрения трещинно-пористой среды как деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет также изменяться с изменением давления, а именно,

1.43

Необходимо отметить, что данная зависимость справедлива при небольших изменениях давления. В более общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением.

1.3.2.2. Границы применимости линейного закона фильтрации

Также как и в пористых средах в трещиноватых породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Re_кр=500, а для шероховатых — 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

Для трещиноватой среды выражение для числа Рейнольдса получается аналитически и равно

, 1.44

Аналитическое и численное исследование задач связано с применением основных законов течения в дифференциальной форме. Для процессов, происходящих в нефте-газовых пластах, характерно изменение основных параметров течения во времени. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными). Для получения дифференциальных уравнений движения выделяется бесконечно-малый элемент и рассматриваются законы сохранения массы, количества движения и энергии за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются экспериментальные соотношения, определяющие зависимость силы трения, пористости и т.д. от параметров течения. Число уравнений должно равняться числу неизвестных параметров, что даёт замкнутую систему.

Для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров вследствие значительных величин удельной поверхности коллекторов и их теплоёмкости. Т.о. для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиваться уравнениями балланса массы (неразрывности) и движения.

Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны из-за значительных перепадов давления, проявления дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефте-газоотдачи.

Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, а именно уравнений состояния флюидов и пористой среды. Кроме того для получения однозначного решения необходимо задание граничных и начальных условий.

В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамике требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного течения удаётся получить аналитическое решение.

2.1. УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ДЛЯ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

2.1.1. Общая система уравнений

Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

; 2.1

уравнение движения в форме Дарси

; 2.2

где р * =р+zg,  u=dG / dt, G — расход массы жидкости в единицу времени через поверхность равного потенциала (массовый дебит).

В приведённой системе уравнений k=const, =const, т.е. среда изотропна. Для анизотропной среды слоистой структуры систему координат направляют по главным осям пласта, т.е. ось z — перпендикулярна слоям, а x, y — по плоскости слоя. В такой среде чаще рассматривают фильтрацию в предельных случаях: k_z=0 и k_z=. При k_z=0 — нет перетока газа через слои, а при k_z= — dp / dz=0, т.е. давление в каждом поперечном сечении распределяется гидростатически, а компоненты скорости, параллельные х, у, распределены равномерно по поперечному сечению потока.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановивщимся (нестационарным). При установившимся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации, пористость и т.д.) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Т.о. для установившейся фильтрации и уравнение неразрывности примет вид

, 2.3

где ;

(a) — декартовые координаты; (b) — сферические координаты; (c) — цилиндрические координаты; в сферических координатах — угол  определяет изменение меридианного угла, а угол  — широтного.

Для несжимаемой жидкости (=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

, 2.4

Потенциалом поля скоростей фильтрационного течения называется функция

. 2.5

Равенство (2.5) можно переписать в виде

2.6

. 2.7

Здесь u — вектор массовой скорости фильтрации; grad — градиент потенциала , направленный в сторону быстрейшего возрастания ,

;

Подставляя (2.7)в (2.1) получим

, 2.8

а для установившегося течения

. 2.9

Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа относительно функции , а оператор  оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет два важных свойства, которые имеют большое практическое приложение, а именно:

сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;

произведение частного решения на константу — также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

;

где: (a) — декартовые координаты; (b) — сферические координаты; (c) — цилиндрические координаты.

2.2. УРАВНЕНИЯ ФЕЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

2.2.1. Общая система уравнений

В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать характерные особенности такой среды (рис.1.2):

такой пласт моделируется системой двух сред с порами разных масштабов (среда 1 — роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен — пористые блоки; среда 2 — обычная пористая среда, образующая блоки);

между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.

При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q_1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.

Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем

. 2.10

Для жидкости в пористых блоках

. 2.11

Здесь q_1,2 — масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма с размерностью МL -3 T -1 .

Будем полагать, что q_1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред

где  — коэффициент переноса, размерности L -2 .

Для чисто трещиноватого пласта считаем q_1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р₁=р₂=р получаем

2.13

Для чисто трещинного пласта

, 2.14

2.3. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим рассмотрим начальные и граничные условия для потенциала.

Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы через границу (из уравнения 2.7)

G=Fu=const, т.е. 2.17

3) переменный поток массы через границу

2.18

4) замкнутая внешняя граница

2.19

lim_x (Г,t)=_к=const 2.20

1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса r_c

2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси)

; 2.22

3) переменный потенциал на забое

4) переменный массовый дебит

; 2.24

; 2.25

Основные граничные условия — А1, А5 и В1, В2.

Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей , m, k,  от давления.

в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах отбора нефти за счёт расширения её объёма при снижении давления

, 2.27

где _ж — коэффициент объёмного расширения, , V_ж — объём жидкости; _ж= (7-30)10 -10 Па -1 — для нефти и (2,7-5)10 -10 Па -1 для пластовой воды.

с) Сжимаемую жидкость — газ, имеющую место при разработки газовых и газоконденсатных залежей. До р_пл 9 Мпа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа

где z — коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении

, 2.31

2.4.2. Зависимость вязкости от давления

До давления меньшего давления насыщения вязкость можно принимать не зависящей от давления, а при больших значениях давления

, 2.32

2.4.3. Зависимость пористости от давления

Пористость связана в первую очередь с давлением между частицами пористой среды — эффективным давлением _эф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается,что

Здесь р — поровое давление; р_горн= _горн g H -горное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности _горн; Н — глубина залегания пласта.

При разработке р_пл падает и, согласно (2.34), растёт _эф. Увеличение _эф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что

, 2.34

где _т — коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 — 2)10 -10 Па -1 .

2.4.4. Зависимость проницаемости от давления

В связи с уменьшением пористости при увеличении давления, также по аналогичному закону уменьшается проницаемость

, 2.35

Обратившись к уравнению (2.7) следует отметить, что положительный массовый дебит будет в тех случаях, когда r отсчитывается от стока, т.е. галерея или скважина — эксплуатационная. Приравнивая правые части (2.7) и (3.2), получим общее дифференциальное уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока:

3.3

Параметр j получил название показателя формы потока, т.к. характеризует вид одномерного течения.

Разделив в (3.3) переменные и проинтегрировав, получим

, 3.4

где С — произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.

Из формулы (3.4) следует, что она верна при значениях j=0;2. При j=1 (плоско-радиальный поток) интегрирование (3.3) даёт

. 3.5

Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, т.е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи.

Известны: постоянный массовый дебит G и значение потенциала  на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины ( G=G=const,  =  _к при r=r_к ).

Подставляя данные значения в (3.4) получим

. 3.6

Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита

2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на границе пласта с областью питания (на контуре питания). Т.о.  =  _с при r=r_c ;  =  _к при r=R_к. Подставляя в равенство (3.4) один раз значения R_к и  _к, а другой раз значения  _с и r_c, исключая из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G или объёмный дебит Q:

3.7

где значения А и j приведены выше.

Исключая из (3.6) величину G / A, при помощи формулы (3.7) получим

. 3.8

По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит не известен.

В случае плоско-радиального потока (j=1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:

3.9

3.10

Т.о., формулы (3.9), (3.10) действительны только для плоско-радиального потенциального потока любой жидкости. Для других видов одномерного движения имеем формулы (3.7), (3.8). Распределение градиента потенциала описывается зависимостью (3.3).

3.2.3. Потенциальные функции

В предыдущем разделе были получены соотношения , определяющие массовый дебит (3.7, 3.9), распределения потенциала (3.8, 3.10) и градиента потенциала (3.3). В тоже время для задач исследования необходимо определение объёмного дебита, давления и скорости фильтрации. В связи с этим определим выражения потенциальной функции

. 2.5

для случаев флюидов различной физической природы (жидкость или газ), а также различных типов коллекторов (пористые или трещиноватые).

3.2.3.1. Несжимаемая жидкость и недеформируемый пласт

. 3.11

3.2.3.2. Несжимаемая жидкость и трещиноватый (деформируемый) пласт

Для данных условий =const и как в предыдущем случае считаем =const, но

1.43

где  * изменяется в пределах от 0,01 . 10 -5 м 2 /н до 0,006 . 10 -5 м 2 /н.

. 3.12

3.2.3.3. Упругая жидкость и недеформируемый пласт

, 2.27

. 3.13

. 3.14

3.2.3.4. Совершенный газ и недеформируемый пласт

В данных условиях k=const, =const, но при изотермической фильтрации

При подстановке выражения (2.29) в (2.5) имеем после интегрирования

. 3.15

Данная потенциальная функция получила название функции Лейбензона по имени автора впервые её предложившего.

3.2.3.5. Реальный газ и недеформируемый пласт

Как и в предыдущем случае полагаем k=const. Уравнение состояния реального газа имеет вид

В случае изотермического течения газа справедливо следующая модификация данного уравнения

, 3.16

С учетом (3.16) потенциальная функция запишется в виде

, 3.17

где .

. 3.18

3.2.4. Анализ основных видов одномерного течения по закону Дарси

Для практического исследования фильтрационных потоков необходимо знать распределение не абстрактной функции — потенциала, а конкретных физических параметров — давления, скорости, закона движения и т.д. Следовательно необходим переход от зависимостей (3.3, 3.7-3.10) к зависимостям, определяющим выше перечисленные параметры при использовании, приведенных в разделе 3.2.3. выражений для потенциальной функции.

В связи с тем, что для разработки месторождений наибольшее значение имеет плоско-радиальный тип течения (приток к скважине), то ограничимся получением указанных зависимостей для данного вида течения. При этом исходными будут уравнения:

изменения потенциальной функции 3.10

где ;

притока 3.9

изменения градиента потенциала

. 3.3

3.2.4.1. Течение несжимаемой жидкости через недеформируемый пласт

В данном случае k=const, =const , =const,

. 3.11

3.19

3.20

объёмный дебит (формула Дюпюи)

3.21

3.22

закон движения частиц флюида

Движение частицы описывается уравнением .

Интегрируем данное соотношение по времени от до t и по расстоянию от R до r, где R — начальное положение частицы флюида. В результате получим

. 3.23

Время отбора всей жидкости из кругового пласта

. 3.24

. 3.25

С целью получения выражения для средневзвешенного давления определим

3.26

. 3.27

Дебит не зависит от r, а только от депрессии  р_к. График зависимости Q от  р_к (Рис.3.4) называется индикаторной диаграммой, а сама зависимость — индикаторной. Отношение дебита к депрессии называется коэффициентом продуктивности скважины

. 3.28

2. Градиент давления и скорость обратно пропорциональны расстоянию (рис.3.5) и образуют гиперболу с резким возрастанием значений при приближении к забою.

3. Графиком зависимости р=р( r ) является логарифмическая кривая

(рис.3.6), вращением которой вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая воронкой депрессии. Отсюда, основное влияние на дебит оказывает состояние призабойной зоны, что и обеспечивает эффективность методов интенсификации притока.

4. Изобары — концентрические, цилиндрические поверхности, ортогональные траекториям.

Дебит слабо зависит от величины радиуса контура r_к для достаточно больших значений r_к /r_c, т.к. r_к /r_c входят в формулу под знаком логарифма.

Для данных условий =const , =const, и

. 3.12

3.29

3.30

объёмный дебит (формула Дюпюи)

, 3.31

где знаки перед выражением в правой части зависят от того, является ли скважина эксплуатационной или нагнетательной;

3.32

При малых депрессиях на пласт из-за малости  * можно считать, что

и тогда зависимость для давления (3.29) переходит в вид, аналогичный распределению давления в недеформируемом пласте.

При  * =0, т.е. для недеформируемого трещиноватого пласта, после раскрытия неопределённости в формуле(3.31) получаем формулу Дюпюи.

1. В общем случае воронка депрессии для деформируемого пласта более крутая, чем для недеформируемого пористого (рис. 3.7). Указанный характер графиков подтверждает, что в деформирумом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные фильтрационные сопротивления, вызывающие резкое понижение давления на сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим  * .

2. Из формулы для объёмного дебита (3.31) следует, что индикаторная кривая — парабола четвёртого порядка с координатами вершины:

. 3.33

Парабола проходит через начало координат, симметрична относительно оси, параллельной оси дебитов; вторая ветвь смысла не имеет (рис.3.8). Однако, если учесть реальные пластовые условия (полного смыкания трещин не происходит: не учитываются факторы, связанные с изменением характеристик течения из-за изменения раскрытия трещин в направлении потока), то можно говорить только о приближённом выполнении экстремальных условий (3.33).

Комплексный параметр  * можно определить или графоаналитически или непосредственно из (3.31), взяв по индикаторной кривой два известных значениях дебита Q₁ и Q₂ при двух значениях депрессии р_с1 , р_с2 , т.е. из соотношения

. 3.34

По найденному  * можно из уравнения (3.31) определить проницаемость k _т.

3.2.4.3. Потенциальное движение упругой жидкости через недеформируемый пласт

. 3.14

Подобно тому как в случае однородной несжимаемой жидкости существует линейная зависимость между потенциалом  и давлением р, так в установившимся потоке малосжимаемой жидкости существует линейная зависимость между  и плотностью  . Это означает, что для упругой жидкости зависимость между  координатой r выражается точно теми же формулами, какими выражается зависимость между р и r при однородной несжимаемой жидкости. Чтобы найти зависимость для давления подставим в уравнения, связывающие переменные  и r, значения ,_к и _с, определяемые уравнением состояния (2.27). Тогда для плоскорадиального течения имеем

. 3.35

Если взять приближенное линейное уравнение состояния, то придём к тем же зависимостям между р и r , что и при однородной несжимаемой жидкости.

Массовый дебит для упругой жидкости определяется из (3.5) при подстановке  из (3.14)

3.36

Приближенная формула массового дебита получаются при использовании линейного уравнения состояния

3.36

Разделив G на плотность , найдем объёмный дебит Q , приведённый к тому давлению, которому соответствует плотность . Так, приводя объёмный дебит к стандартному давлению в 0,1013 МПа , делим G на _ст . В этом случае формула (3.36) будет совпадать с формулой (3.21), справедливой для несжимаемой жидкости.

Пренебрегать сжимаемостью жидкости в установившемся потоке можно только при условии достаточно малой величины коэффициента _ж и не очень большого перепада давления  р_с=р_к — р_с . В этом случае можно, как для несжимаемой жидкости, считать постоянным вдоль потока не только массовый дебит, но и объёмный. В противном случае вдоль потока: постоянен только массовый дебит; массовая скорость фильтрации изменяется по тому же закону, что скорость фильтрации для несжимаемой жидкости.

Время движения частицы упругой жидкости рассчитывается так же, как и для несжимаемой жидкости.

3.2.4.4. Течение совершенного газа через недеформируемый пласт

В данных условиях k=const, =const, по (2.29) — =_cт р/ р_ст и, согласно (3.15) .

В данной постановке имеем:

Распределение давления из (3.10)

3.37

Если сравнить распределения давления в случае потока газа с соответствующим распределением для однородной несжимаемой жидкости (рис. 3.9), то увидим, что для газа давление вблизи стенок скважины изменяется более резко, чем для несжимаемой жидкости. Пьезометрическая кривая для газа имеет, следовательно, более пологий характер на большем своём протяжении, чем кривая несжимаемой жидкости; однако у неё более резкий изгиб у стенки скважины, чем у кривой несжимаемой жидкости.

3.38

Если обе части уравнения (3.38) разделить на _ст , то получим формулу для объёмного дебита, приведенного к стандартному давлению

3.39

Т.о. индикаторная зависимость для газа описывает линейную зависимость дебита от разницы квадратов пластового и забойного давлений в отличии от индикаторной зависимости для несжимаемой жидкости, где устанавливается линейная связь дебита с разницей самих значений пластового и забойного давленийэ

Распределение градиента давления получим из (3.3)

. 3.40

Из данной формулы следует, что градиент давления вблизи забоя резко возрастает как за счёт уменьшения r, так и за счёт падения давления р, вызванного сжимаемостью газа.

Изменение скорости фильтрации выведем из (2.7) при использовании уравнения состояния (2.29)

. 3.41

Из (3.41) видно, что скорость фильтрации слабо меняется вдали от скважины и резко возрастает в призабойной зоне.

Уравнение индикаторной линии

Уравнение (3.39) устанавливает линейную связь между дебитом и разностью квадратов контурного и забойного давлений, поэтому для простоты исследований индикаторная диаграмма при фильтрации идеального газа по закону Дарси строится в координатах Q_ст –(р_к 2 -р_с 2 ). В этом случае имеем прямую (рис.3.10) , проходящую через начало координат с угловым коэффициентом

. 3.42

, 3.43

Т.о. для случая фильтрации совершенного газа по закону Дарси, имеем параболу с осью, параллельной оси дебитов (рис.3.11). Ветвь параболы, изображенная пунктиром, физического смысла не имеет.

3.2.4.5. Реальный газ и недеформируемый пласт

Следует использовать при давлении р_пл>10МПа и депрессии на пласт р_с/р_к R > a₂ ; следовательно, все окружности пересекают ось между стоком и источником, а значит, одна из особых точек находится внутри окружности данного радиуса R, другая — вне этой окружности. Точки О₁ и О₂ , положения которых на прямой х определяются равенством (4.7), называются взаимосимметричными относительно окружности радиуса R.

Допустим, что радиус R=, т.е. берём ту эквипотенциальную линию, которая является прямой. Из (4.7) следует, что в этом случае С₁=1 и, как следует из (4.6), r₁=r₂ . Последнее равенство означает, что в числе эквипотенциальных линий есть прямая 0у, которая делит расстояние между стоком и источником пополам и параллельна оси 0у (рис.4.3).

Итак, эквипотенциальные линии (изобары) при совместном действии одной эксплуатационной и одной нагнетательной скважин в неограниченном пласте представляют собой окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через центры скважин (рис.4.4).. Среди окружностей есть одна, имеющая бесконечно большой радиус — прямая, которая делит расстояние между скважинами и всю плоскость течения пополам. Половина всех окружностей конечного радиуса R расположена по одну сторону от этой прямой, остальные окружности — по другую.

Семейство линий тока ортогонально изобарам и, следовательно, в данном случае тоже окружности. Все линии тока проходят через сток и источник. Центры всех окружностей линий тока расположены на прямой, делящей расстояние между стоком и источником пополам (рис.4.4).

Массовый дебит эксплуатационной и нагнетательной скважин при их совместной деятельности определяется на основе соотношения (4.5), расписанного для каждой скважины при учете отношений радиусов (рис.4.3): на контуре эксплуатационной скважины — ; на контуре нагнетательной скважины — . Решая, полученную систему уравнений, имеем

. 4.10

Массовая скорость фильтрации в любой точке пласта М (рис.4.2) находится по правилу суперпозиции сложения векторов скорости от действия источника и стока

. 4.11

Величина корня есть расстояние между источником и стоком 2а и, следовательно, формула (4.11) перепишется в виде

4.12

Для поддержания пластового давления часто используется нагнетание воды в пласт. Определим для однородной несжимаемой жидкости время движения частицы по кратчайшему пути между нагнетательной и эксплуатационной скважинами, т.е. по оси 0х. При жестководонапорном режиме решается при этом вопрос о времени, протекшем от начала закачки воды в пласт до начала её прорыва в эксплуатационную скважину.

Чтобы решить указанную задачу выразим скорость в (4.12) через производную расстояния по времени и, поместив начало координат в сток О₁ , проинтегрируем полученное уравнение по х от х до х. Тогда время движения частицы от некоторой точки х до точки х определится зависимостью

. 4.13

Время обводнения Т, т.е. прохождения частицы расстояния О₁О₂= 2а определится из (4.13), если принять х=0; х=2а

, 4.14

где m — пористость; Q — объёмный дебит.

Зная Т можно найти площадь обводнения , приравнивая объёмы TQ и mh. Откуда. 4.15

Анализ формул (4.13) и (4.14) показывает, что расстояние, пройденное частицей за время Т от нагнетательной скважины до эксплуатационной, вдвое больше расстояния пройденного другой частицей за это же время в положительном направлении оси х.

4.1.2. Приток к группе скважин с удаленным контуром питания

В большинстве практических случаев контур питания находится довольно далеко. Поэтому решения данной задачи позволяют провести предварительную оценку однородных участков месторождений.

Пусть в пласте расположена группа из n скважин (рис. 4.5) с различными для общности дебитами G_i, забойными потенциалами p_i и радиусами скважин r_i. Расположение скважин задано и на достаточно большом удалении находится контур питания, форма которого неизвестна, но известен порядок расстояния r_к от контура питания до группы скважин При этом r_к на много больше расстояния между скважинами. Считаем, что дан потенциал контура  _к и забойные потенциалы скважин  _i.

Для определения дебитов используем формулу (4.2) при помещении точки М на забое каждой скважины, что позволяет записать n — уравнений вида

, 4.16

где r_ci — радиус скважины на которую помещена точка М; r_ji — расстояние между i — ой и j — ой скважинами; _ci — забойный потенциал i — ой скважины.

Неизвестных же — n+1, так как константа тоже неизвестна. Для нахождения константы С воспользуемся условием =_к на удалённом контуре питания:

, 4.17

Приближение заключается в том, что для удаления точек контура питания от скважин принимаем одно и тоже расстояние r_к , что справедливо для достаточного удаления контура, учитывая что оно находится под знаком логарифма. Уравнение (4.17) и будет (n+1 ) уравнением.

Таким образом плоская задача интерференции при удалённом контуре питания сводится к решению алгебраической системы уравнений первой степени (4.16),(4.17).

При помощи данной системы можно находить или депрессию при заданном дебите, или получить значения дебитов при заданных депрессиях. При найденных дебитах можно определить пластовое давление в любой точке по (4.2), причем результат будет тем точнее, чем дальше эта точка отстоит от контура питания.

4.1.3. Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания

Пусть в полосообразном пласте пробурена одна скважина с центром в точке О₁ на расстоянии а от прямолинейного контура (ось у ) бесконечного протяжения, на котором поддерживается постоянный потенциал _к . На скважине радиуса r_c поддерживается постоянный потенциал _с. Найдём дебит скважины G и распределение функции .

Так как контур питания пласта 0у является эквипотенциальной линией, то все линии тока, сходящиеся в центре скважины О₁, должны быть перпендикулярны к прямой 0у (рис.4.6). Для определения поля течения добьёмся выполнения граничных условий на контуре введением фиктивного источника О₂ с дебитом, равным дебиту стока О₁, путём зеркального отображения данного стока относительно прямой у.Т.о. используем ранее упомянутый метод отображения и задачу о потоке в пласте с прямолинейным контуром питания и с одиночной эксплуатационной скважиной сведём к ранее рассмотренной в разделе 4.1.1. задаче о совместном действии источника и стока равной производительности. Отличие данных задач только в постановке граничных условий: в задаче раздела 4.1.1. источник питания — нагнетательная скважина, а в данном случае — прямолинейный контур, а источник О₂ фиктивный.

Т.о. используем для определения дебита выражение (4.10), но со следующей заменой граничных условий:

Подставляя последовательно соответствующие граничные значения , r₁ и r₂ в равенство (4.10) получим два уравнения, определяющих потенциалы на контуре и забое. Из этих уравнений легко находится массовый дебит одиночной скважины в пласте с прямолинейным контуром

. 4.18

Если бы в пласте была нагнетательная скважина, то в формуле (4.18) достаточно только изменить знак правой части.

4.1.4. Приток к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы

Данная задача может возникнуть при расположении добывающей скважины вблизи сброса или около границы выклинивания продуктивного пласта. В этом случае реальную скважину-сток зеркально отображают относительно непроницаемой границы, и дебиту скважины — отображения приписывают тот же знак, что и дебиту реальной скважины. При притоке к двум равнодебитным скважинам скорость фильтрации на непроницаемой границе будет направлена вдоль границы, т.е. граница является линией тока и фильтрация через неё отсутствует. Дебит скважины определяется из уравнений (4.16) и (4.17) для n=2 в пласте с удалённым контуром питания:

. 4.19

4.1.5. Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания

В естественных условиях контур питания имеет произвольную форму и её не всегда удаётся определить. Кроме того, часто не удаётся определить достаточно точно и расстояние а от скважины О₁ до контура. Можно ли в этом случае пользоваться формулой предыдущего раздела? Любой произвольный контур В находится между прямолинейным В_пр и круговым В_кр. (рис.4.7).

Расчеты дебитов проведенные для этих двух крайних разновидностях контуров показали:

При вычислении дебита скважины форма внешнего контура пласта не имеет сколько-нибудь существенного значения.

Чем дальше от внешнего контура пласта находится скважина, тем меньший дебит она имеет. Однако, так как величина расстояния входит под знаком логарифма, то даже значительное изменение этого расстояния мало влияет на величину дебита

В случае расположения скважины эксцентрично относительно контура поток можно считать плоско-радиальным и дебит рассчитывать по формуле Дюпюи если r_к.>10 3 r_c и эксцентриситет а₁ / — это сопротивление плоскорадиального потока от воображаемого контура окружности длиной 2а/n к скважине. Величина 2а/n — длина дуги сектора радиуса а, который содержит одну из скважин батареи.

Электрическая схема в случае одной батареи (рис.4.12) имеет вид (рис.4.13). На рис.4.12 затемнены области внутреннего сопротивления.

Рассмотрим случай притока к n эксплуатационным и нагнетательным батареям скважин и составим схему сопротивлений. Предположим, что скважины i-ой батареи имеют забойные потенциалы _сi (i=1. n), пласт имеет контурные потенциалы _к1 и _к2 (рис. 4.14). Пусть _к1 > _к2. Очевидно, поток от контура питания к первому ряду скважин будет частично перехватываться первой батареей и частично двигаться ко второй. Поток ко второй батарее будет частично перехватываться второй батареей, частично двигаться к третьей и т.д. Этому движению отвечает разветвленная схема фильтрационных сопротивлений (рис. 4.15).

Расчет ведется от контура с большим потенциалом к контуру с меньшим потенциалом, а сопротивления рассчитываются по зависимостям:

прямолинейная батарея 4.40

4.41

Дальнейший расчет ведется, как для электрических разветвленных цепей, согласно законам Ома и Кирхгоффа:

— алгебраическая, сумма сходящихся, в узле дебитов равна нулю, если считать подходящие к узлу дебиты положительными и отходящие — отрицательными.

— алгебраическая сумма произведения дебитов на сопротивления (включая и внутреннее) равна алгебраической сумме потенциалов, действующих в замкнутом контуре. При этом и дебиты и потенциалы, совпадающие с произвольно выбранным направлением обхода контура, считаются положительными, а направленное навстречу обходу отрицательным.

Следует помнить, что для последовательных сопротивлений =_i , а для параллельных —

Если одна из границ непроницаема, то расход через неё равен нулю. В этом случае в соответствующем узле схемы фильтрационных сопротивлений задаётся не потенциал, а расход. На рис. 4.16 показана схема в случае непроницаемости второго контура. Вместо потенциала _к2, показанного на рис.4.15, здесь в узле задано условие G_i=0.

Приведенные формулы тем точнее, чем больше расстояние между батареями по сравнению с половиной расстояния между скважинами. Если расстояние между скважинами много больше расстояния между батареями, то расчет надо вести по общим формулам интерференции скважин или использовать другие виды схематизации течения, например, заменить две близко расположенные соседние батареи скважин с редкими расстояниями между скважинами (рис. 4.17а) эквивалентной одной батареей — с суммарным числом скважин и проведенной посредине (рис.4.17b).

4.2.1. Виды несовершенств скважин. Приведённый радиус.Добавочное фильтрационное сопротивление

Гидродинамическое несовершенство скважины проявляется в том, что в призабойной зоне пласта с конечной мощностью отсутствует радиальность потока по причине, обусловленной конструкцией забоя или фильтра.

Различают два вида несовершенства скважин — несовершенство по степени вскрытия и несовершенство по характеру вскрытия.

Несовершенная скважина по степени вскрытия — это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а частично (рис.4.18а).

Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта (рис. 4.18b).

На практике чаще всего встречаются скважины несовершенны как по степени, так и по характеру вскрытия пласта.

Дебит G несовершенной скважины чаще всего меньше дебита G_с совершенной, действующей в тех же условиях, что и данная несовершенная скважина. В некоторых случаях (при торпедной или кумулятивной перфорации, когда глубина прострела достаточно велика) может наблюдаться обратная картина. Отношение данных дебитов  характеризует степень несовершенства скважины и называется коэффициентом несовершенства

. 4.42

Коэффициент несовершенства зависит от :

от относительного вскрытия пласта , 4.43

где h_вс — глубина погружения скважины в пласт , h — толщина пласта;

от числа отверстий, приходящихся на 1м колонны, размеров и формы отверстий;

При расчете несовершенных скважин нередко используют понятие приведенного радиуса несовершенной скважины

. 4.44

Это — радиус такой совершенной скважины, дебит которой равняется дебиту данной несовершенной скважины при тех же условиях эксплуатации. Таким образом, вначале находятся приведённые радиусы r_пр и дальнейший расчет несовершенных скважин ведется, как для совершенных скважин радиуса r_пр.

Итак, дебит несовершенной скважины можно определить, если известен коэффициент несовершенства  или приведённый радиус r_пр , а также известна соответствующая формула дебита совершенной скважины. Влияние несовершенства скважины на приток при существовании закона фильтрации Дарси можно учесть величиной коэффициента С, основываясь на электрической аналогии. Согласно данной аналогии различие в дебитах совершенной G_c и несовершенной G скважин объясняется наличием добавочного фильтрационного сопротивления несовершенной скважины величиной С/2h, т.е. дебит несовершенной скважины можно представить в виде

. 4.45

Учитывая (4.45), получим зависимость между коэффициентом  и и величиной С:

. 4.46

Влияние различного вида несовершенства скважины на приток изучалось как теоретически, так и экспериментально. Рассмотрим результаты данных исследований.

4.2.2. Экспериментальные и теоретические исследования притока жидкости к гидродинамически несовершенной скважине

4.2.2.1. Течение по закону Дарси

Несовершенная скважина по степени вскрытия изучалась В.И. Щуровым путём электролитического моделирования, который построил опытные диаграммы зависимости С от параметра a=h/D ( h — мощность пласта, D— диаметр скважины) и относительного вскрытия пласта h=h_вс/h ( h_вс — толщина вскрытия ). Таким же методом исследовалась несовершенная по характеру вскрытия скважина Щуровым и независимо от него И.М. Доуэллом и Маскетом, а также Р.А. Ховардом и М.С. Ватсоном. В результате получены зависимости коэффициента несовершенства от плотности перфорации (числа отверстий на 1 метр) и глубины прострела, которые показали значительную зависимость дебита от плотности перфорации только до значений 16-20 отверстий на 1 метр. Для случая фильтрации газа Е.М. Минским и П.П. Марковым доказана сильная нелинейная зависимость коэффициентов фильтрации от относительного вскрытия пласта.

Для несовершенной по степени вскрытия на основе метода суперпозиции и отображения стоков Маскетом получена зависимость для дебита

, 4.47

где f — функция относительного вскрытия, имеет вид (рис.4.19) и определяется выражением

, 4.48

где Г — затабулированная гамма — функция или интеграл Эйлера второго рода.

Анализ приведённой зависимости (4.47) показывает значительное превышение фактического дебита над величиной дебита для радиального потока с уменьшением относительного вскрытия пласта.

Если глубина вскрытия не слишком мала, то формула Маскета даёт хорошие результаты, а так как она проще остальных формул, то ею обычно и пользуются для скважин, несовершенных по степени вскрытия, но совершенных по характеру вскрытия.

Если толщина пласта много больше радиуса скважины, то для расчета дебитов несовершенной по степени вскрытия скважины можно пользоваться более простой формулой Н.К.Гиринского

4.49

Из зависимости (4.47) видно, что коэффициент несовершенства по степени вскрытия С можно выразить зависимостью

4.50

и он добавляется к фильтрационному сопротивлению совершенной скважины.

Если скважины ещё и несовершенны по характеру вскрытия, то коэффициент С увеличивается на величину сопротивления фильтра

, 4.51

где D — диаметр фильтрового отверстия в см; n — число отверстий на 1м перфорированной части.

4.2.2.2. Течение реального газа по двухчленному закону

В большинстве случаев дебит газовых скважин не следует закону Дарси, так же как в некоторых случаях и для нефтяных и водяных скважин.

Вблизи фильтрационных отверстий при приближении к стенке скважины скорость фильтрации становится настолько большой, что число Рейнольдса превосходит критическое. Квадраты скоростей становятся настолько большими, что ими пренебрегать уже нельзя.

Уравнение притока реального газа по двухчленному закону фильтрации к совершенной скважине записывается в виде, аналогично идеальному,

. 3.53

но здесь А и В являются функциями р и Т

. 4.52

Приток к несовершенной скважине учитывается так же как и при фильтрации по закону Дарси, т.е. введением приведённого радиуса скважины в формулу дебита.

При нарушении закона Дарси для скважины несовершенной по степени и характеру вскрытия для расчета притока проще всего использовать следующую схему. Круговой пласт делится на три области. Первая имеет радиус R₁(2-3)r_c. Здесь из-за больших скоростей вблизи перфорации происходит нарушение закона Дарси и проявляется в основном несовершенство по характеру вскрытия. Вторая область — кольцевая с R₁ > R₁.

В первой области фильтрация происходит по двухчленному закону и плоско-радиальное течение нарушается из-за перфорационных отверстий. Уравнение притока имеет вид (4.54), но несовершенство учитывается коэффициентами С₃ и С₄, а R₂ заменяется на R₁ и R₁ — на r_c.

Коэффициент С₃ определяется по графикам Щурова, а для С₄ предлагается приближенная формула

, где N— суммарное число отверстий; R— глубина проникновения перфорационной пули в пласт.

Складывая почленно (4.53), (4.54) и уравнение притока для первой области получим уравнение притока для несовершенной скважины

, 4.55

.

4.2.3. Интерференция скважин.

В случае интерференции скважин несовершенных по степени вскрытия в условиях течения по закону Дарси вначале определяется дебит совершенных скважин радиусами r_с по формулам теории интерференции для притока к стокам и источникам на плоскости, а затем фильтрационное сопротивление каждой скважины увеличивается на величину коэффициентов несовершенства С_i (i=1. 4). Если определены коэффициенты фильтрационных сопротивлений А_н и В_н , указанным выше аналитическим оценочным методом или прямым испытанием скважины путем пробных откачек при установившемся режиме, можно использовать метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений для исследования интерференции несовершенных скважин, в том числе при двухчленном законе фильтрации. Для этого двухчленный закон надо представить в виде

, 4.56

где можно рассматривать как нелинейное сопротивление, добавляемое к внутреннему сопротивлению , определяемому конечным расстоянием между скважинами в батарее.

Например, в схеме фильтрационных сопротивлений для условий линейного закона фильтрации, внутренние сопротивления  следует заменить суммой , где для каждой скважины. Дальнейший расчет ведется, как и ранее, при помощи законов Ома и Кирхгофа, но система уравнений получается уже не линейной, а содержащей квадратные уравнения, что приводит к усложнению вычислений.

При разработке часто возникают условия, при которых проницаемость в законтурной области меньше проницаемости внутри контура.

Поток к n эксплуатационным скважинам идёт от окружности радиуса R и дебит G₁ каждой скважины определяется по (4.25), где вместо _к следует поставить  — потенциал на границе двух сред, а вместо R_к — R. Во второй области поток плоскорадиален от контура R_к до укрупненной скважины радиуса R и дебит скважины , где G определяется по формуле (4.26). Имея в виду, что в пределах каждой зоны k=const, распишем потенциал в виде =kФ+С, где . Подставляя данное выражение для  в соотношение для дебитов и исключая Ф получим

. 4.57

Для однородной несжимаемой жидкости Ф=р/, а вместо массового дебита G / надо подставить объёмный дебит Q. Пользуясь (4.57) можно сравнить дебиты батареи при различных относительных размерах частей I и II пласта и при различных соотношениях между проницаемостями. Расчеты показывают, что при k₁/k₂= 1, то U будет меньше его значения в однородном пласте. При одних и тех же значениях  взаимодействие скважин будет тем больше, чем большую площадь при данных условиях занимает менее проницаемая часть пласта.

Рассмотрим случай, когда кольцевая батарея занимает область II, т.е. область примыкающую к контуру питания (а>R). В этом случае

. 4.58

Для анизотропных пластов, т.е. где неоднородность имеет некоторую направленность, скважины взаимодействуют приблизительно также как и в анизотропном пласте. Эффект взаимодействия будет значительно усиленным или ослабленным лишь при резком различии проницаемостей в двух определённых направлениях: в направлении линии расстановки скважин и в направлении, перпендикулярном к этой линии.

Ослабление взаимодействия наблюдается в случае более низкой проницаемости в направлении линии расстановки скважин по сравнению с проницаемостью в перпендикулярном направлении. Усиление эффекта взаимодействия происходит в обратном случае. Таким образом, для уменьшения эффекта взаимодействия при закладывании новых скважин следует выбирать направление, в котором пласт наименее проницаем.

Одиночная скважина. Определим дебит в двух крайних случаях: по закону Дарси — 1-ое в формуле (3.48) и по закону Краснопольского развитого нелинейного течения — 2-ое слагаемое. Тоже самое сделаем и в случае радиально-сферического течения. Если примем радиус одной скважины r_с, а другой — r_c / = xr_c и, соответственно, дебиты G и G / , а их отношение обозначим через у=G/G / , то получим следующие формулы для вычисления предельных значений у